sabato 7 dicembre 2013

Il teorema di Pick

Oggi, cari lettori del Tamburo, vi farò scoprire un teorema geometrico poco noto: il teorema di Pick.
Esso riguarda i cosiddetti poligoni reticolari, ossia dei poligoni i cui vertici risultano situati sui punti di un reticolo quadrato.
Ecco un esempio di poligono reticolare:


Se volessimo calcolare l'area di un poligono di tal genere, assumendo che l'intervallo tra i punti del reticolo sia di un'unità, cosa dovremmo fare?
Fortunatamente ci viene in soccorso lo straordinario teorema di Pick, il quale afferma che l'area A di tale poligono può essere "magicamente" determinata contando il numero I dei punti del reticolo che sono interni al poligono e il numero B dei punti situati sul perimetro del poligono.
In particolare, il teorema di Pick afferma che sussiste la seguente semplice formula:





Dalla teoria passiamo alla pratica! ;)
Sapendo ciò, come calcoliamo l'area del poligono che vedete nell'immagine situata sopra?
Semplice: innanzitutto contiamo i punti che stanno all'interno del suddetto poligono.
Contati?
Sono 9.
Dunque possiamo segnarci che I = 9.
Passiamo al conto dei punti che sono situati sul bordo del poligono.
Sono 10, pertanto B = 10.
Ora non ci resta che sostituire i nostri dati nella formula prima illustrata ed otterremo l'area del poligono:





L'area è quindi pari a 13 unità quadrate.
Una precisazione: il teorema vale per tutti i poligoni eccetto per quelli che presentano buchi.
Nel caso siate dubbiosi sull'effettiva validità del teorema, non vi resta che guardare la rigorosa dimostrazione presente nella relativa pagina di Wikipedia.
Rimane in sospeso una questione: chi diavolo è Pick?
Georg Alexander Pick (1859-1942) è stato un importante matematico austriaco che presentò il suo fondamentale teorema nel 1899.
Pick studiò all'Università di Vienna e ottenne il Ph.D. (dottorato di ricerca) nel 1880.
Dopo aver ricevuto il dottorato divenne assistente nientemeno che di Ernest Mach alla Charles-Ferdinand University di Praga.
Nel 1884 lasciò temporaneamente Praga (dove sarebbe poi rimasto fino al 1927, per poi ritornare nella nativa Austria) per lavorare insieme a Felix Klein all'Università di Lipsia.
Pick, nel 1911, ebbe l'importante ruolo di mostrare ad Einstein l'opera dei matematici più influenti, insegnamenti fondamentali per il grande fisico nel suo sviluppo della relatività generale.
La morte di Pick fu davvero tragica.
Infatti, quando le truppe di Hitler invasero l'Austria nel 1938, Pick, che era ebreo, non potette far altro che tornare ancora una volta a Praga.
Sfortunatamente, tale fuga non garantì la sua salvezza.
I nazisti invasero infatti la Cecoslovacchia e lo deportarono, il 13 luglio 1942, nel campo di concentramento di Theresienstadt, dove morì 2 settimane dopo.
I matematici scopriranno, successivamente, che non esiste alcun teorema analogo a quello di Pick per quanto concerne le 3 dimensioni o n dimensioni.
In altre parole, non esiste un vero e proprio teorema che ci consenta di calcolare il volume di un politopo (l'analogo del poligono in uno spazio n-dimensionale, ad esempio un poliedro nello spazio tridimensionale) contando semplicemente i punti al suo interno e quelli al suo bordo.
Vi lascio con un'immagine contenente 3 poligoni, così, se volete, potete divertirvi a calcolare la loro area tramite il simpatico metodo illustrato.


Alla prossima!

Questo post partecipa al Carnevale della Matematica n.68, che sarà ospitato su Maddmaths!

8 commenti:

  1. Chissà se Georg A. era parente di Richard (Dick) Pick, il creatore dell'OS che ho usato (e apprezzato) per tanto tempo, prima di Unix?

    RispondiElimina
  2. Bravissimo, Leo! un teorema molto interessante e divertente, come si conviene al Tamburo!

    RispondiElimina
  3. Conoscevo il teorema, meno la vita di Pick; grazie Leo.
    Effettivamente è un teorema che sembra avere qualcosa di magico e può diventare un vero e proprio gioco, magari costruendosi un geopiano fatto in casa: una tavoletta di compensato, un righello, un po' di chiodi e degli elastici.
    QUI e QUI ne aveva parlato Annarita e nei post ci sono anche applet per "giocare" virtualmente.

    RispondiElimina
  4. Felice degli apprezzamenti. Grazie! :)
    È un teorema magico nella sua semplicità, anche se la sua generalizzazione tramite i cosiddetti polinomi di Ehrhart è tutt'altro che facile!

    RispondiElimina
  5. Ma è stupendo!
    5 6,5 5,5?
    Cristiana

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Grazie dell'apprezzamento! Risposte esatte! :)

      Elimina
  6. non sono capace a fare il conto, se provo col righello mi viene 12,5

    Divido la figura in 3 triangoli

    -il triangolo a sx in basso vale 1,5 (4x1/2-1/2)
    -il triangolo grande al centro vale 7,5 (5x3/2)
    -il triangolo col vertice in alto vale 3,5
    il totale 1,5+7,5+3,5 =12,5

    dove è sbagliato? per favore ditemelo che se no stanotte non dormo.

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Enrico, senza utilizzare il teorema di Pick, l'area della figura azzurra (la prima immagine del post) si può, ad esempio, calcolare considerando l'area del quadrato che la contiene, ossia 6 x 6 = 36 unità quadrate, e sottraendo ad essa la somma delle aree delle parti bianche.
      Se si suddividono nel modo giusto le parti bianche e si effettuano bene i conti, esce che Area = 36 - 23 = 13 unità quadrate, lo stesso risultato ottenuto molto più semplicemente utilizzando il teorema di Pick.

      Elimina