giovedì 11 dicembre 2014

La costante di Champernowne

Prendete il numero 0.
Ora fate seguire al suo simbolo una virgola (o un punto).
Infine scrivete l'elenco ordinato dei numeri naturali, fin dove volete.
Probabilmente non lo sapete, ma con queste 3 semplici azioni avrete sotto gli occhi la cosiddetta costante di Champernowne!
Ebbene sì, nel sistema di numerazione in base 10 (quello che usiamo comunemente) il numero




ha una tale importanza da possedere una specifica denominazione, alla stregua del pi greco, del numero di Nepero, della costante di Eulero-Mascheroni e così via [quella che può sembrare una faccina buffa := è il simbolo indicante "uguale per definizione"].
La suddetta costante è infatti una "costruzione numerica" che compì nel 1933 il matematico ed economista David Gawen Champernowne (1912-2000) quando era ancora studente all'Università di Cambridge.
Champernowne, spesso chiamato con l'appellativo «Champ», è stato anche un compagno di college e amico del grande Alan Turing, pioniere del moderno sviluppo dei computer (se volete saperne di più su Turing cliccate qui).
Ecco un aneddoto raccontato da Andrew Hodges nella sua splendida biografia di Turing:

"Donald Michie, in collaborazione con Shaun Wylie, aveva escogitato un programma di scacchi che avevano battezzato  «Machiavelli». Ma anche Alan nel frattempo [era il 1948] ne aveva elaborato uno, insieme con David Champernowne, che era stato chiamato «Turochamp». Era un programma nel quale l'idea più importante era quella di sviluppare catene di catture di pezzi fino a quando nessuna cattura fosse più possibile; e aveva un sistema di valutazione in cui, oltre alle catture, entravano la mobilità dei pedoni, l'arrocco, e la conquista della settima traversa da parte delle torri. Non c'era nulla, nel programma, che andasse molto al di là di ciò che Alan aveva discusso già nel 1941 con Jack Good, o con Champernowne nel 1944. Quell'anno, probabilmente a Natale, durante una passeggiata, lui e «Champ» avevano fatto una scommessa ideale: per il 1957 sarebbe esistita una macchina capace di battere lo stesso Champernowne agli scacchi. E avevano anche stabilito le probabilità, che erano 13 contro 10 in favore della macchina. Il «Turochamp» certamente non raggiungeva questo livello, però era in grado di battere la moglie di Champernowne, che era una principiante. Del resto nessuno di loro prendeva molto sul serio quel programma, che non era neppure stato messo per iscritto in tutti i suoi dettagli. Tuttavia erano i sistemi di questo genere che davano ad Alan, come aveva scritto nel suo rapporto, «La precisa sensazione di opporre il proprio intelletto contro qualcosa di vivente». Champernowne aveva anche ripreso il sistema per il poker, che Alan aveva elaborato con più cura che in passato, e aveva avuto la soddisfazione di riuscire (per pura fortuna) a batterlo."

Veniamo dunque alle peculiarità di tale costante.
Innanzitutto può essere espressa attraverso una somma infinita di termini (una serie):









Si può inoltre costruire una costante di Champernowne per qualsivoglia base.
Nel sistema binario (quello alla base del funzionamento dei pc) essa si presenta come




che, tradotto in base 10, corrisponde a 0,8622401258680545715577902...
Per completezza, esiste anche, nel sistema binario, una possibile variante la quale consiste nel scambiare tutti gli 0 con 1 e tutti gli 1 con lo 0.
La costante di Champernowne in base 10 è poi un numero irrazionale.
In pratica non esiste una frazione di numeri interi in grado di esprimere il suddetto numero (Spartaco Mencaroni, curatore del blog Il Coniglio Mannaro, ha scritto un meraviglioso racconto su questo tema).
Ma non solo la costante di Champernowne è irrazionale, ma è pure trascendente, così come pi greco!
In parole povere, un numero è trascendente quando non riesce a soddisfare ad alcuna equazione algebrica polinomiale.
La trascendenza di questa costante venne dimostrata, in un articolo datato 1937, da Kurt Mahler.
La cosa probabilmente più interessante della costante di Champernowne è il fatto di essere un numero normale in base 10.
Attenzione, non "normale" nel senso che non ha nulla di speciale!
I matematici intendono per numero normale, in una certa base b, un numero nel cui sviluppo in tale base tutte quante le cifre appaiono con la medesima frequenza 





e tutte le coppie di cifre con una frequenza pari a





Generalizzando, ogni collezione di cifre (in termini tecnici n-upla) tende a presentarsi con una frequenza equivalente a:





Champernowne dimostrò appunto che ciascuna cifra da 0 a 9 della sua costante si presenta nella sequenza infinita con una frequenza del 10%.
Spingendosi oltre, mostrò anche che ogni possibile gruppo di due cifre si presenta con una frequenza dell'1%, ciascun gruppo di tre cifre con una frequenza dello 0,1% e così via.
Pure nella sua forma binaria la costante di Champernowne risulta normale (ovviamente in base 2).
Hans Christian von Baeyer, nel saggio Informazione, il nuovo linguaggio della scienza, afferma a riguardo:

"Il numero normale di Champ nella sua forma binaria è un oggetto favoloso. Usando il codice Morse, o qualche altra traduzione di 0 e 1 in simboli tipografici, può essere trasformato in una stringa di lettere, spazi e segni di interpunzione. Dal momento che ogni sequenza finita concepibile di parole è seppellita da qualche parte nel noioso gergo delle stringhe, ogni poema, ogni biglietto di trasporto e ogni romanzo mai scritto, o che sarà scritto in futuro, è contenuto in quella stringa. Tutta l'opera di Shakespeare appare in versioni multiple, alcune con errori di stampa, altre no. Guerra e Pace sta lì, ovviamente, ma la traduzione francese della costituzione americana in forma d'esametri. Potreste dover viaggiare lungo la stringa per miliardi di anni luce prima di trovarli, ma ci sono da qualche parte. Quindi il numero miracoloso di Champ, un semplice puntino nella sua versione decimale, sorpassa in compattezza la vasta Biblioteca di Babele di Jorge Louis Borges, che pure contiene tutte le possibili combinazioni di lettere, ma le conserva in file infinite sugli scaffali. Essendo un bibliofilo, sono spaventato e vagamente disturbato dalla nozione che si possano rimpiazzare tutti i miei libri, più quelli nella Library of Congress e nella Bibliothèque Nationale di Parigi, con un punto dipinto sulla mia unghia, solo un pochino a destra del bordo della sua pellicina."

Concludiamo con un video in cui viene mostrato un areogramma dimostrativo del fatto che il numero di Champernowne sia normale.
Più cresce il numero di cifre di cui tiene conto il grafico, maggiore sarà l'uniformità delle fette di "torta" generate.


Alla prossima!

Questo post partecipa al Carnevale della Matematica n.80, che sarà ospitato sul blog Pitagora e dintorni col tema "Matematica e irrazionalità".

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