giovedì 12 marzo 2015

Pi greco e il problema delle lenzuola

Il 14 marzo si festeggia il pi day, ovvero la giornata dedicata al magico numero 3,14159265....
Esso designa il rapporto che sussiste tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro.

Fu William Jones, nel 1706, il primo ad utilizzare il simbolo π per indicare il suddetto numero irrazionale.
Pi greco ha una lunga storia, che ripercorriamo brevemente.
L'interesse per questo numero risale già ai remoti tempi degli antichi babilonesi ed egizi, che ne calcolarono delle prime approssimazioni, le quali presentavano tuttavia valori in eccesso o in difetto rispetto alla stima attuale di pi greco.
Il primo trattato sistematico relativo al calcolo del pi greco risale al III secolo d.C ed è contenuto nell'opera Nove capitoli sulle arti matematiche di Liu Hui.
Costui fece uso di una tecnica simile al metodo di esaustione, già utilizzato da Archimede qualche secolo prima, il quale consiste nel inscrivere e/o circoscrivere poligoni attorno alla figura di cui si vuole determinare l'area e aumentare progressivamente il numero di lati dei suddetti poligoni per ottenere un'approssimazione sempre più precisa.
Ecco un bel video che spiega in circa 90 secondi il metodo di Archimede:

Verso la fine del XVI secolo si incominciò a pensare di rappresentare pi greco attraverso prodotti infiniti.
Infatti, nell'opera Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII, François Viète notò che:







formula che viene considerata il primo prodotto realmente infinito mai descritto.
π non fece la sua comparsa soltanto in prodotti infiniti, ma anche nelle meravigliose frazioni continue, come quella fornita da Lord William Brouncker (1620-1684):













E se non bastasse, il celebre numero apparì anche nelle serie, cioè in somme infinite di termini.
La prima e molto famosa è la serie di Gregory-Leibniz, risalente agli anni '70 del XVII secolo





Altra serie celebre, compiendo un balzo temporale notevole, è quella dovuta nel 1910 alla fenomenale mente dell'indiano Srinivasa Aiyangar Ramanujan:

Un'uguaglianza così bella da ispirare le sensazionali ricerche di 3 matematici: David Bailey, Peter Borwein e Simon Plouffe
Costoro, nel 1996, introdussero una serie matematica inerente al pi greco (la cosiddetta formula BBP) che ha una caratteristica davvero senza precedenti: permette infatti di determinare una specifica cifra di pi greco senza calcolare le precedenti!
Ecco la serie in questione:


Insomma il pi greco ha attirato nel corso della storia le attenzioni di un numero elevato di matematici, che ne hanno provato a calcolare (dal XX secolo pure con l'ausilio delle tecnologie informatiche) sempre più cifre e a determinare formule in grado di descriverlo.
Se volete saperne di più sulla storia di pi greco, potete vedere qui.
Ma pi greco non si limita a questo, appare in praticamente ogni campo della matematica: trovare un libro di matematica di un certo livello dove non compaia tale simbolo è molto difficile.
Lo ritroviamo nella geometria, nell'analisi, nella trigonometria, nella statistica, nella teoria dei numeri, nella fisica e chi più ne ha più ne metta.
Ma una vostra domanda lecita in questo momento potrebbe essere, avendo letto il titolo del post: che diavolo c'entra pi greco con le lenzuola?
Ebbene, siccome la matematica sta dappertutto, c'è stato (anzi c'è stata) chi si è interessata pure al problema delle lenzuola.
Immaginate di prendere le lenzuola del vostro letto, spesse ad esempio 0,4 millimetri e piegarle.
A questo punto lo spessore sarà 0,8 mm.
Il problema delle lenzuola consiste nel capire quante volte dovreste piegarle affinché lo spessore delle lenzuola diventi pari alla distanza fra la Luna e la Terra.
La risposta è stupefacente: vi basterebbe piegare le lenzuola appena 40 volte per ritrovarvi a fare un sonnellino sul nostro satellite naturale!
Una versione analoga di tal problema si ottiene immaginando di voler piegare un foglio di carta dello spessore di 0,1 mm.
Piegandolo soltanto 51 volte, la pila che otterrete arriverebbe addirittura al Sole!


Tuttavia questi esperimenti possono avvenire solamente nella nostra mente, dato che non è fisicamente possibile eseguire numerose pieghe su oggetti reali come un lenzuolo o un foglio di carta.
Per buona parte del XX secolo si riteneva che fosse impossibile piegare un foglio di carta a metà più di 7-8 volte, anche se il foglio di partenza risultava molto grande.
Il problema infatti non sta nell'ampiezza del foglio, ma nell'elevato spessore che si viene a determinare dopo diverse pieghe.
Nel 2002 però una giovane studentessa delle scuole superiori, Britney Gallivan, è riuscita nell'incredibile impresa di piegare un foglio di carta a metà per ben 12 volte.



E non è tutto!
L'anno precedente la prodigiosa ragazza era riuscita a determinare le equazioni in grado di calcolare il limite del numero di volte in cui si può piegare un foglio di carta di una certa grandezza in una sola direzione.
Ipotizzando di avere un foglio di carta di spessore t, Gallivan ha mostrato che è possibile stimare la lunghezza minima iniziale L della carta necessaria per ottenere n strati attraverso la formula:




in cui fa capolino anche pi greco!
Se analizziamo il comportamento dell'espressione





incominciando da n = 0, ricaviamo la successione di numeri interi 0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11.050, 43.946, 175.274, 700.074...In sostanza l'undicesima volta che pieghiamo la carta a metà perdiamo 700.074 volte il materiale, in corrispondenza dell'estremità arrotondata della piega, rispetto a quanto perso nella prima piega.
Se invece nella piegatura viene alternata la direzione, abbiamo una nuova formula:




dove W indica la larghezza di un pezzo quadrato di carta necessaria per piegare un foglio n volte.
Anche per carta non quadrata, per esempio con un rapporto 2:1, l'equazione appena scritta fornisce un limite accurato.
Vi lascio con un magnifico video della TED-Ed relativo al problema delle lenzuola (e della carta)
 

Alla prossima!

Questo post partecipa al Carnevale della Matematica n.83, che verrà ospitato da Gianluigi Filippelli su DropSea nel Pi Day.

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